라플라스변환을 이해하시려면 먼저 푸리에변환을 이해하시는 것이 우선일듯 싶네여.... 주로 고등학교에서도 어느 정도 다루는 테일러급수를 이해하신다면 푸리에변환도 어느정도 이해하실수 있으시리라 생각됩니다. 즉 모든 함수는 기본함수(basic function)의 선형 결합으로 근사화될수 있다는 이론에서 출발한것이 푸리에급수 전개이구요(단 여기서는 기본 함수로 complex exponentioal 함수를 쓰죠^^) 그런 전개를 이산 시간 함수에 적용한것이 푸리에 변환입니다. 라플라스 변환은 푸리에 변환이 exponential 함수의 index가 순허수에서 복소수로 바뀐 형태입니다. 먼저 라플라스변환에 익숙하시려면 물리적인 개념보다는 수식적인 공식에 익숙하시는 것이 우선이 될거 같습니다. 라플라스 변환에 대한 정의식부터 여러가지 함수의 라플라스 변환의 공식들은 시중에 나와있는 공업수학책(대표적인것으로 kreyszig의 책을 보시면 무난할 듯 싶네여)을 보면 상세히 나와있습니다.
라플라스 변환의 의미는 제가 공학도이기 때문에 공학적인 측면에서만 말씀드리면 먼저 공정 제어나 신호 처리, 그리고 복잡한 회로를 해석하는데 쓰입니다. 앞선 분이 말씀하셨듯이 라플라스 변환이라고 하는것은 우리가 함수를 보는 축을 변환시키는 것과 같은것이거든요... 예를 들면 시간 도메인에서 굉장히 복잡한 함수가 주파수 도메인에서는 단순한 선형 함수의 형태로 나타나는 경우도 굉장히 많습니다. 또한 신호 해석의 경우에서 시간 함수의 형태로 주어진 신호를 convolution 하여 결과를 얻는 것은 굉장히 복잡한 프로세스를 동반하지만 이를 각각 라플라스 변환을 하여 단순히 곱하여 그 결과를 역 변환시키면 원래의 결과를 쉽게 얻을 수도 있습니다. 최근에 각광받고 있는 영상처리나 음성처리의 기본 원리에서도 이러한 기법이 마니 사용되고 있습니다. 그리고 공업 수학책을 보시면 금방 아시겠지만 복잡한 형태의 미분 방정식을 푸는데도 라플라스 변환은 유용하게 쓰일 수 있습니다. 우리가 사는 물리계의 많은 현상들이 미분 방정식으로 해석될 수 있다는 생각을 한다면 이런 라플라스 변환의 효용성을 쉽게 알수 있으리라 생각됩니다.
결론적으로 말씀드리면 라플라스 변환은 기존의 함수 해석의 관점을 새로이 하는 것이고 익숙한 것으로 비유하자면 고등학교 수학에 나오는 일대일대응이나 좌표계의 변환과 그 원리가 같습니다. 다만 그 변환식이 조금 복잡하고 전혀 다른 형태의 좌표로의 변환이라는 것만 빼고요...
라플라스 변환은 프랑스의 라플라스(Laplace)가 고안한 변환 방법입니다.
우선 형식은 적분 식의 형태를 띠죠.
이 식은 원래 t에 대한 함수를 s에 대한 함수로 바꿔주는 변환인데요, 이 변환은 exponential 함수를 앞에 곱해준 다음 적분하여 변환을 해 준다는 것을 알 수 있습니다.
다시 말해서 f(t)로 표시된 어떤 데이터 또는 그래프가 위 적분을 시행하면, 좀 더 간단한 형태 (sine함수에 대하여 적분해보면 알 수 있음.)로 바꾸어주어서, 해석을 좀 더 간편하게 하기 위해 고안된 변환입니다.
여기서 t, s는 서로 다른 변수를 나타내며, 주로 각각 시간과 진동수를 나타내어, 파동의 해석을 목적으로 쓰이죠.
그리고 f(t)를 F(s)로 바꾸는 변환을 시행할 수도 있지만, 역으로 변환을 취하는 경우도 있습니다. 이것은 t에 대한 함수로 바꾸면 자기가 원하는 데이터를 좀 더 쉽게 얻을 수 있는 경우겠죠.
같은 목적으로 고안된 변환 중에 Fourier 변환이라는 것이 있습니다. 이 변환은 여러 가지 진동수의 조합으로 된 복잡한 파동을 어떤 진동수의 조합으로 이루어졌는지 명확하게 조사할 수 있도록 해주는 변환입니다.
정리하면, 라플라스 변환은 데이터 해석의 편의를 위하여 고안된 변환입니다
푸리에 변환은 라플라스변환에서 s대신 (시그마)+jw 를 대입한 특수한 경우죠.
라플라스 변환과 푸리에 변환은 비슷한 형태를 취하는데 엄밀히 따지면 라플라스 변환은 주파수 영역이 아닌 s영역에서의 해석입니다.
Transform (변환)을 하는 이유는 어떠한 시스템의 전달함수를 얻기 힘들때 쉽게 얻을수 있도록 도움을 얻기위해 하는것이 보통인데 라플라스 변환과 푸리에 변환을 함으로서 그 목적을 달성할 수 있습니다.
라플라스변환이 아날로그 시스템의 해석에 쓰였다면 푸리에변환은 그 중요성이 말로 형용할 수 없을 정도로 위대한 변환이죠.
푸리에변환은 어떠한 함수가 주기적이면 푸리에급수로, 비주기적이면 푸리에변환으로 해석하는데 변환전의 함수가 시간(t)의 함수로 나타난다면 변환후의 함수는 주파수(w or f)의 함수로 나타나게되죠.
어떤함수가 시간을 변수로 가지는(시간의 변화에따라 값이 변하는) 함수라면 이는 시간영역의 함수이며 그 함수를 변환하여 주파수를 변수로 가지는(즉, 주파수의 변화에 따른) 함수이면 이는 주파수 영역의 함수입니다.
푸리에 변환전의 함수가 f(t) 라 한다면 변환후의 함수는 F(f) 라 표기할텐데 앞의 t는 시간영역의 함수라는 뜻이고 뒤의 대문자F는 변환된 함수, 소문자f는 주파수의 함수라는 뜻입니다.
변환을 해보면 정말로 주파수 함수가 됨을 알수 있고 이를 이용하면 analysis(해석)을 쉽게할수 있는 경우가 아주많죠.
푸리에는 공학도라면 누구나 한번쯤 도대체 어떻게 이런생각을 해냈을까 하고 감탄하게 만드는 업적을 가진 위대한 학자겠죠.
푸리에 변환과 라플라스 변환.. 비슷하지요..
우선 라플라스변환(앞으로 인티그럴 -무한대 ~ +무한대는 생략해서 ∫만 쓰겠습니다)
L[f(t)] = ∫ f(t) e^(-st) dt = F(s)
위 식은, 시간 t에 대한 함수 f(t)를 라플라스 변환 한것을 나타냅니다.
제일 좌변의 뜻은 f(t)를 라플라스 변환하겠습니다.
가운데는, 라플라스 변환하는 과정이지요.. 원래함수에 지수함수 e^(-st)를 곱해서 -무한대~무한대의 범위까지에서 시간에 대해 적분한것입니다.
우변의 뜻은 f(t)가 변환후에는 F(s)가 되었다는 겁니다.
잘 보시면, 변환전에는 시간t의 함수인데, 변환후에는 s에 대한 함수가 된 것을 알 수 있을겁니다. 즉 축이 변환되었다는 뜻입니다.
그럼 s가 무엇인지 알아야겠지요?
s는 복소변수(Complex variable)를 나타냅니다. 즉, 실수부와 허수부가 있는 복소수라는 뜻이지요..
수식으로 표현하면 s = σ + jω ( 고등학교때는 허수단위를 i로 쓰지만, 전기전자공학에서는 전류i와 구분해서 허수단위를 j로 씁니다. 즉 s= a + bi로 해도 같은뜻이겠지요?)
라플라스변환의 설명이 잘 되었는지 모르겠네요.. 자세한건 교재를 참고하시고 그럼 푸리에 변환입니다.
처음 함수 f(t)를 라플라스 변환하면
L[f(t)] = ∫ f(t) e^(-st) dt = F(s) 에서..
s = σ + jω (복소수)였으므로..
L[f(t)] = ∫ f(t) e^(-(σ + jω)t) dt = F(σ + jω) 로 쓸 수 있겠지요?
s를 σ + jω로 바꿨을 뿐입니다.
이때 복소수 s에서, σ = 0이라면, s = jω즉 실수부는 0이고, 허수부만 남았다고 할 때.
L[f(t)] = ∫ f(t) e^(-jωt) dt = F(jω)
여기까지 이해되셨나요?
그럼 위식의 가운데 부분을 잘 보세요..
푸리에 변환 공식과 같다는걸 알 수 있을겁니다.
느닷없이 왜 라플라스변환이 퓨리에 변환이 되었냐면..
라플라스 변환결과는 복소수 전체를 대상으로 하지만, 푸리에변환은 실수부가 0이되는경우, 즉 허수부분만 고려할 때의 결과입니다.
간단히 설명하면 푸리에 변환은 라플라스변환의 특별한 경우 중 하나입니다.
즉 라플라스변환 ⊃ 푸리에 변환이 되겠지요..
물론 푸리에 변환은 특별한 경우라고 했으니까, 라플라스 변환이 되어도 , 푸리에 변환이 불가능한 경우가 있겠지요? 반대로 푸리에 변환은 안되지만 라플라스 변환은 가능한 함수도 있을거고요..
시간신호 f(t)가 푸리에 변환이 되려면 연속이면서 적분가능한 함수이어야 합니다.
설명이 복잡해졌는데, 정리하면...
라플라스 변환의 공식에서 s=σ + jω이고, s를 jω로 쓰면(실수부 =0) 그것이 푸리에 변환입니다. ^^
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